Т-32. Из закона Ома можно получить две удобные расчетные формулы: для вычисления э.д.с. и сопротивления цепи. Все, о чем говорит закон Ома, можно записать в виде короткого алгебраического выражения, так называемой формулы. Для этого прежде всего введем условные обозначения— э.д.с. обозначим буквой Е, ток — буквой I и сопротивление буквой R. Краткая алгебраическая запись, формула закона Ома, приведена на рисунке Р-16;4. Из формулы видно, что ток I зависит от двух величин: от электродвижущей силы Е и сопротивления R. В этой зависимости Е находится в числителе дроби, и, значит, с увеличением Е ток I возрастает. Так записывается прямая зависимость тока I от э.д.с Е. Величина R стоит в знаменателе, а значит, с увеличением R ток I уменьшается.
Как видите, зависимость, для записи которой словами понадобилась чуть ли не сотня букв, на языке математики записана всего тремя буквами.
Формула не только очень короткий, лаконичный способ записи различных зависимостей, но еще и удобный способ. Удобство его, во-первых, состоит в том, что, одним взглядом окинув формулу, часто можно сразу же почувствовать, какая величина от какой зависит. И как зависит. Если какая-либо величина в числителе, она работает на увеличение результата (как Е в формуле закона Ома), если в знаменателе, работает на уменьшение (как R в этой же формуле). Извинившись перед читателями, хорошо знающими алгебру, мы сейчас напомним некоторые типичные зависимости одних величин от других. Это микроотступление в математику очень пригодится нам в дальнейшем.
На рисунке Р-17 приведено несколько возможных зависимостей между тремя величинами, обозначенными буквами А, В и С. Зависимость 1 — точная копия закона Ома: А возрастает с увеличением В и падает с увеличением С. В зависимости 2 все наоборот: величина С уже старается увеличить величину

P-16

P-17

А, а величина В старается ее уменьшить. Зависимость 3 говорит о том, что А совершенно одинаково зависит от B и С, причем с увеличением любой из них А тоже увеличивается. В зависимости 4 обе величины В и С тоже одинаково влияют на А, но, в отличие от предыдущего примера, обе они стоят в знаменателе и поэтому с ростом В и С величина А уменьшается.
В формуле 5 величина А равна сумме В и С; увеличьте любую из них, и А возрастет, правда, не так резко, как в зависимости 3.
А вот в зависимость 6 величина С входит со знаком «минус», и чем она больше по абсолютной величине, тем меньше А.
Во все предыдущие формулы В и С входили в первой степени, в следующую формулу 7 одна из них входит во второй степени, в квадрате. Это значит, что А особо сильно зависит от В: увеличьте В в 2 раза, и А увеличится в 4 раза, увеличьте Б в 10 раз, и А возрастет в 100 раз.
Зависимость 8 уже не квадратичная, а кубическая: В входит в нее в третьей степени и еще сильнее влияет на А: если В возрастает в 2 раза, то А увеличивается в 8 раз, если В растет в 10 раз, то A — в 1000 раз.
Зависимость 9 тоже квадратичная, но В находится в знаменателе и со всей своей силой старается уменьшить А.
В формуле 10 влияние величины, попавшей под знак корня, резко уменьшается: величина В влияет на А значительно слабее, чем в формуле 3: если увеличить В в 4 раза, то в зависимости 3 величина А возрастет в те же 4 раза, в зависимости 10 — всего в 2 раза.
Мы лишь несколькими словами коснулись нескольких простейших математических зависимостей. Но даже наши простейшие примеры демонстрируют одно из удобств математического языка, показывают, как много важной информации можно легко и быстро извлечь из записей, сделанных в виде формул.
Другое удобство математического языка заключается в том, что, используя известные способы преобразования алгебраических выражений, можно из одной зависимости получить другую, в каком-то отношении более удобную. Причем делается это быстро и, можно сказать, просто, механически, без рассуждений о том, какие конкретные величины обозначены той или иной буквой. И во всех случаях, если делать преобразования правильно и исходная формула верна, новая формула тоже будет правильной.
Разные способы преобразования математических зависимостей глубоко и в большом объеме в течение нескольких лет изучаются в школе, в курсе алгебры. Мы же приведем одно простое правило, которое в некоторых случаях может оказаться полезным для того, чтобы преобразовать какую-нибудь формулу и получить из нее другую, более удобную. Правило это можно изложить так: «Если из формулы, которая показывает; как величина а зависит от величины b, с, d, e и так далее, вам нужно получить другую формулу, которая показывала бы, как от всех этих величин зависит, например, величина b, то нужно одновременно с обеими частями формулы производить любые полезные, по вашему мнению, операции до тех пор, пока величина b не будет отделена от всех других величин и не останется в одиночестве». Слова «одновременно с обеими частями формулы» выделены потому, что это важнейшее условие, нарушение которого может привести к совершенно неверному результату.

Читать следующую теорию
Вернуться на предыдущую

значёк